두 온 아흔 넷. 정말로 진지하게 궁금한 수학적 의문

수학은 우주의 언어이다. 그래서 요즘 내 관심이 수학으로 옮겨갔을 것이다.

그런데, 특별히 수학책을 읽거나 하는 건 아니고, 아직까지는 수학엔 어떤 분야가 있나 뒤적여보는 수준이니 어쩔 수 없는 거란 생각이 들긴 하지만... 너무 기본적인 문제라서 내가 학생 때 흘려듣고 지나친 건 아닌가 하는 의심마저 들긴 하지만... 바로 사칙연산 문제이다.

우연히 방송에서 사칙연산의 순서를 가지고 버벅거리는 연예인의 모습을 본 순간, 그 버벅거리는 모습을 비웃을 마음이 들기는 커녕, 머릿속이 복잡해졌다.

사칙연산의 순서는 인간 세상의 약속인가? 아니면 이것도 역시 우주 공통의 약속인가?

4 + 5 x 6 = ?

답은 34여야 한다. 그렇게 배웠으니 그렇게 알고 있다. 하지만, 마음을 비우고 보면 의문이 뭉클뭉클 거대해진다. 이게 무한한 수학의 세계에서 과연 공인된 정답일 것인가? 왜 그런 약속이 있는 거지?

이런 의문이 생기는 건 당연하다. 그런 약속이 있다는 것만 배웠지 그런 약속을 하는 이유는 모르기 때문이다. 내 기억으로는 그 이유를 정확하게 설명해 주신 수학 선생님은 단 한 분도 없었다.

그런데 정말 이유가 뭐죠?

이유를 알고 계신 수학 고수님들, 댓글이나 트랙백으로 좀 알려주시길... 그건 인간 세상의 약속이란다, 하는 그런 김 빠지는 답변 말고, 좀 더 구체적인 답변을...

인간 세상의 약속이라는 걸 확인하게 되면 어쩐지 수학에 대한 믿음이 깨질 것 같다. 수학은 인간이 만드는 게 아니라 인간이 발견하는 것일 뿐이라고 굳게 믿고 있던 그 믿음이... (하긴, 미적분은 인간이 발명한 것이긴 하지만서도... 아무튼...)

무식하다 비웃지 마시고 좀 알려 주세요... ^^

by 다크초콜릿 | 2008/03/27 20:24 | 과학 이야기 | 트랙백(5) | 핑백(1) | 덧글(8)

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두 온 아흔 넷. 정말로 진지하게 궁금한 수학적 의문특별히 조사를 따로 한 것은 아니지만, 제가 공부한 분야라서 조금은 설명을 드릴 수 있을 것 같습니다.a+bxc일 때 곱하기를 먼저하라는 규칙, 즉, 덧셈과 곱셈이 괄호 없이 나란히 놓여질 때 곱셈을 먼저하라는 규칙은 사실은 a+(bxc) 라고 원래 써야하는 괄호를 생략해도 된다는 규칙입니다.그런데, 왜 이런 규칙이 생겨났을까요? 이것은 단지 임의적이고 우연적인 약속인 걸까요?여기서 임의적이고......more

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Tracked from Archive at 2008/03/30 10:13

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수학에서 흔히 발생할 수 있는 두 가지 종류의 수 표현을 생각해보자. '5 곱하기 a'에 '3 곱하기 b'를 더하고 거기에 '2 곱하기 c'를 더한 수: 곱셈 우선: 5*a + 3*b + 2*c 덧셈 우선: (5*a) + (3*b) + (2*c) 곱셈 우선이 더 편리해 보인다 '5 더하기 a'에 '3 더하기 b'를 곱하고 거기에 '2 더하기 c'를 곱한 수: 곱셈 우선: (5+a) * (3+b) * (2+c) 덧셈 우선: 5+a * 3+b * ......more

Linked at gimmesilver's b.. at 2008/03/29 14:38

... 하나였습니다. 근데 정작 맨날 틀려서 안타까워하면서도 왜 곱셈/나눗셈을 덧셈/뺄셈보다 먼저 계산해야 하는지 그 이유에 대해서는 깊이 생각해본 적이 없었습니다.두 온 아흔 넷. 정말로 진지하게 궁금한 수학적 의문사칙 연산의 순서에 대해...사칙연산과 괄호 위에 링크된 글에 의하면 표기체계의 편리함을 위해 약속된 규칙이라고 할 수 있겠습니다. ... more

Commented by 가고일 at 2008/03/27 20:40
공리계가 바뀌면 바뀌는 걸로 압니다.

만약 그런 계산법칙을 적용해서 사칙연산과 방정식을 포함한
전 수학과정에 걸쳐 무리없는 연역이 가능하면 인정이 된다는 거죠.

4원수라는 개념이 있는데 도출되는 기본공식은 기억이 안나니 잠깐 넘어가고..;;;
복소수의 확장개념으로 i에 해당하는 4가지 기본 수가 있고
그 4가지 수는 기본공식에 의해 서로가 서로를 생성하는 관계입니다.
이걸 적용하면....아주 당연히 여기는 덧셈과 곱셈의 교환법칙이 성립하지 않는다는군요...
하지만 이 체계로 완전한 하나의 수학적 연역체계를 만들어내므로 인정을 받았습니다.
Commented by 가고일 at 2008/03/27 20:49
아...덧셈은 아니고 곱셈만입니다....

보기는 추상적인거 같은데 이 개념은 행렬에 의한 3차원공간의 좌표 변환에 사용되고 있다는군요....
Commented by 가고일 at 2008/03/27 20:54
굳이 이유를 묻는다면 수학자들은 아마 "그것이 모순이 없는 체계라서" 라고 대답할거 같군요.
어쨌거나 2000년 이상의 논리적 정합성이 탄탄하게 받쳐진 체계니까요.

사실 이런 단순한걸 "증명" 하려면 보통 일이 아닙니다....

"1+1"을 완전히 증명하는 과정이 몇페이지가 넘어가더군요.
수학의 기초근간을 파들어가서 논리식으로만 증명하는거라서요.
Commented by 가고일 at 2008/03/27 21:15
수학이 우주 공통의 언어, 약속이라는 측면이 그 자체로 완전무결함을 뜻하는 거라면...

"괴델의 불완전성 정리" 를 다룬 책들을 읽어보신다면 아마 그 믿음이 깨지실 듯도 합니다....
수학 내에서 어떤 논리적 체계를 잡아도 증명도 부정도 할수 없는 부분이 반드시 있고
결국 그 체계 전체가 완전무결하다는건 절대 있을 수 없다는게 증명의 요지이지요.
그 증명을 들은 힐베르트의 마음이 그런 심정이었을 듯도 합니다만.
Commented by 추유호 at 2008/03/27 21:24
수학을 인간이 발견하는 건 맞는데요.
그것을 표현하는 방법은 약속이죠.
사과가 열개 있으면 10이라 표현할 수도 있고 wernefas;lkdjfwe라고 표현할 수도 있는데
열개 있는 현상은 진실이고 '10'이라 표현하는 표현법은 약속이죠.
진리와 진리를 표현하는 방법을 혼동하고 계신 듯 하네요.

괴델까지 언급하시는 건 좀 오바하신듯.
Commented at 2008/03/27 23:38
비공개 덧글입니다.
Commented by deisys at 2008/05/21 05:59
infix form에서 사칙연산의 우선순위가 우주의 약속인가? 하는건 의미가 없죠. infix 도 결국 인간이 만든 약속인데. prefix/postfix 로 식을 쓰면 괄호가 없어도, 연산자의 우선순위가 없어도 애매하지 않습니다. 아름답죠?
Commented by 다크초콜릿 at 2008/05/23 16:06
말씀하신 수학용어는 잘 모르겠지만, 전체 수학체계에서는 모순이 없다는 의미로 받아들이겠습니다. 맞나요? 말씀대로라면 정말 아름답군요. ^^

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